Thực đơn
Hàm_số_bậc_hai
Giờ ta chỉ xét hàm số bậc hai mẫu chuẩn: y = a x 2 + b x + c {\displaystyle y=ax^{2}+bx+c} ( a ≠ 0 ) {\displaystyle (a\neq 0)}
Đồ thị của hàm số bậc 2 mẫu chuẩn luôn là một đường parabol trên hệ trục tọa độ.
Điểm đỉnh của một parabol là nơi mà nó quay. Do đó, nó còn được gọi là bước ngoặt .
Nếu hàm bậc hai ở dạng đỉnh, đỉnh là (h,k) . Sử dụng phương pháp phần bù bình phương, người ta có thể biến dạng chuẩn sang dạng đỉnh ta có f ( x ) = a ( x − − b 2 a ) 2 + ( c − b 2 4 a ) {\displaystyle f(x)=a(x-{\frac {-b}{2a}})^{2}+(c-{\frac {b^{2}}{4a}})}
vậy h là trục đối xứng của parabol
Nếu ở dạng thừa số y = a ( x − r 1 ) ( x − r 2 ) {\displaystyle y=a(x-r_{1})(x-r_{2})} ta lấy trung bình của 2 nghiệm tức là r 1 + r 2 2 {\displaystyle {\frac {r_{1}+r_{2}}{2}}} do đó toạ độ đỉnh khi đó là ( r 1 + r 2 2 , f ( r 1 + r 2 2 ) ) {\displaystyle ({\frac {r_{1}+r_{2}}{2}},f({\frac {r_{1}+r_{2}}{2}}))}
Một dạng cơ bản của hàm số này được học trong chương trình SGK Toán lớp 9 có dạng: y = a x 2 {\displaystyle y=ax^{2}}
Tập xác định: R
Đồ thị của hàm số này luôn đi qua gốc tọa độ và có
Đỉnh: O ( 0 ; 0 ) {\displaystyle O(0;0)}
Trục đối xứng: Oy
nếu a>0 thì đồ thị nằm ở trên trục hoành, O là điểm thấp nhất của đồ thị. Ta có thể chứng minh được điều này: vì a>0 và x 2 ≥ 0 {\displaystyle x^{2}\geq 0} nên y luôn không âm, hay parabol luôn nằm trên trục hoành.
nếu a<0 thì đồ thị nằm ở dưới trục hoành, O là điểm cao nhất của đồ thị. Lý luận như trên, ta có thể chứng minh được điều này.
Dựa trên một hàm số bất kì, ta có thể vẽ bằng các cách sau:
Cách 1: Giả sử ta có hàm y = 1 3 x 2 {\displaystyle y={\frac {1}{3}}x^{2}} , ta vẽ ít nhất 3 điểm x lấy giá trị dương để đường parabol chính xác hơn. Sau đó qua trục tung vẽ 3 điểm nhận giá trị x âm tương ứng.
Cách 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, giả sử đã biết điểm M ( x 0 ; y 0 ) {\displaystyle M(x_{0};y_{0})} khác gốc tọa độ thuộc parabol. Gọi P là hình chiếu M lên Ox, lần lượt chia đoạn OP, PM thành n phần bằng nhau và qua các điểm này kẻ những đường thẳng song song với Oy, nối chúng với O và đánh số thứ tự các đường thẳng và đoạn thẳng. Lấy giao điểm của các cặp đoạn thẳng có cùng đường thẳng và đoạn thẳng có cùng thứ tự. Nối chúng, ta thu được nửa parabol của hàm đã cho. Cuối cùng vẽ đối xứng nửa parabol này qua trục Oy.
Cách 3:Cách này chỉ dùng cho hàm y = x 2 2 {\displaystyle y={\frac {x^{2}}{2}}}
Trên vở có kẻ dòng như vở học sinh, ta lấy khoảng cách giữa mỗi dòng là 1 đơn vị độ dài và vẽ các đường tròn đồng tâm, rồi kẻ các đường thẳng song song cắt các đường tròn đó và đánh dấu các giao điểm thực tế có một tập hợp các giao điểm khác giao điểm giữa đường tròn và các đường thẳng, tập hợp các điểm đó chính là trục tung Oy. Đánh dấu xong ta xóa các đường tròn, các đường thẳng và các số đánh dấu đi. Nối chúng, ta được một Parabol.
Dạng mẫu chuẩn được dạy đầy đủ trong Đại số 10
Dạng: y = a x 2 + b x + c {\displaystyle y=ax^{2}+bx+c}
Tập xác định: R, ( a ≠ 0 {\displaystyle a\neq 0} )
Ta thực hiện các phép biến đổi tương đương:
y = a x 2 + b x + c {\displaystyle y=ax^{2}+bx+c}
a ( x + b 2 a ) 2 − b 2 4 a + c {\displaystyle a(x+{\frac {b}{2a}})^{2}-{\frac {b^{2}}{4a}}+c}
a ( x + b 2 a ) 2 − Δ 4 a {\displaystyle a(x+{\frac {b}{2a}})^{2}-{\frac {\Delta }{4a}}}
khi đó nếu coi ( x + b 2 a ) 2 = u {\displaystyle (x+{\frac {b}{2a}})^{2}=u} và − Δ 4 a = v {\displaystyle -{\frac {\Delta }{4a}}=v} thì ta có y = a u 2 + v ⇔ y − v = a u 2 {\displaystyle y=au^{2}+v\Leftrightarrow y-v=au^{2}}
Do đó ta có thể quy về hàm số bậc hai rút gọn.
Do đó I ( − b 2 a ; − Δ 4 a ) {\displaystyle I{\Bigl (}{\frac {-b}{2a}};{\frac {-\Delta }{4a}}{\Bigr )}} thuộc đồ thị của hàm số và như vậy, tương đương hàm số bậc 2 rút gọn ta có:
Nếu a > 0 ⇒ y ≥ − Δ 4 a {\displaystyle a>0\Rightarrow y\geq -{\frac {\Delta }{4a}}} ∀ x {\displaystyle \forall x} do đó I {\displaystyle I} là điểm thấp nhất của đồ thị.
Nếu a < 0 ⇒ y ≤ − Δ 4 a {\displaystyle a<0\Rightarrow y\leq -{\frac {\Delta }{4a}}} ∀ x {\displaystyle \forall x} do đó I {\displaystyle I} là điểm cao nhất của đồ thị.
Như vậy điểm I ( − b 2 a ; − Δ 4 a ) ≡ I ( − b ′ a ; − Δ ′ a ) {\displaystyle I{\Bigl (}{\frac {-b}{2a}};{\frac {-\Delta }{4a}}{\Bigr )}\equiv I{\Bigl (}{\frac {-b'}{a}};{\frac {-\Delta '}{a}}{\Bigr )}} đóng vai trò như điểm O ( 0 ; 0 ) {\displaystyle O(0;0)} trong parabol của đồ thị hàm y = a x 2 {\displaystyle y=ax^{2}}
Đồ thị của hàm mẫu chuẩn chỉ là kết quả của các phép biến hình hình học đồ thị của hàm số bậc hai thu gọn.
Đỉnh: I( x I ; y I {\displaystyle x_{I};y_{I}} ) với x I {\displaystyle x_{I}} = − b 2 a {\displaystyle {\frac {-b}{2a}}} = − b ′ a {\displaystyle {\frac {-b'}{a}}} và y I {\displaystyle y_{I}} =f( − b 2 a {\displaystyle {\frac {-b}{2a}}} )=f( − b ′ a {\displaystyle {\frac {-b'}{a}}} )= − Δ 4 a {\displaystyle -{\frac {\Delta }{4a}}} = − Δ ′ a {\displaystyle -{\frac {\Delta '}{a}}}
Trục đối xứng: x = − b 2 a ≡ x = − b ′ a {\displaystyle x={\frac {-b}{2a}}\equiv x={\frac {-b'}{a}}}
Trục này quay bề lõm lên trên nếu a>0, xuống dưới nếu a<0.
Chứng minh: Ta chứng minh đồ thị hàm số này suy ra từ đồ thị hàm số rút gọn qua 3 bước:
Bước 1: Chứng minh đồ thị của hàm y = a x 2 + y 0 {\displaystyle y=ax^{2}+y_{0}}
Xét 2 hàm số f ( x ) = a x 2 , g ( x ) = a x 2 + y 0 {\displaystyle f(x)=ax^{2},g(x)=ax^{2}+y_{0}}
Tại cùng một điểm X ∈ R {\displaystyle X\in R} ta có Y = f ( X ) = a X 2 , g ( X ) = a X 2 + y 0 = Y + y 0 {\displaystyle Y=f(X)=aX^{2},g(X)=aX^{2}+y_{0}=Y+y_{0}}
Do đó nếu điểm M ( x 0 ; y 0 ) {\displaystyle M(x_{0};y_{0})} thuộc đồ thị của hàm y = a x 2 {\displaystyle y=ax^{2}} thì điểm sẽ thuộc đồ thị của hàm y = a x 2 + y 0 {\displaystyle {\displaystyle y=ax^{2}}+y_{0}} .
Bây giờ nếu ta dịch chuyển một điểm M song song trục tung một đoạn | y 0 | {\displaystyle \left\vert y_{0}\right\vert } đơn vị (lên trên nếu y 0 > 0 {\displaystyle y_{0}>0} , xuống dưới nếu y 0 < 0 {\displaystyle y_{0}<0} ) thì ta được điểm N.
Vậy ta có điều phải chứng minh.
Bước 2: Đồ thị của hàm số y = a ( x + x 0 ) 2 {\displaystyle y=a(x+x_{0})^{2}}
Xét 2 hàm f ( x ) = a x 2 , g ( x ) = a ( x + x 0 ) 2 {\displaystyle f(x)=ax^{2},g(x)=a(x+x_{0})^{2}}
với X tùy ý ta có f ( X ) = a X 2 , g ( X − x 0 ) = a [ ( X − x 0 ) + x 0 ] 2 = a X 2 {\displaystyle f(X)=aX^{2},g(X-x_{0})=a\left[(X-x_{0})+x_{0}\right]^{2}=aX^{2}}
Tức là giá trị của hàm f(X) tại X bằng giá trị của hàm g(X) tại X − x 0 {\displaystyle X-x_{0}} . Vậy với điểm M ( X ; Y ) {\displaystyle M(X;Y)} thuộc đồ thị của hàm số y = a x 2 {\displaystyle y=ax^{2}} thì điểm N ( X − x 0 ; Y ) {\displaystyle N(X-x_{0};Y)} thuộc đồ thị của hàm số y = a ( x + x 0 ) 2 {\displaystyle y=a(x+x_{0})^{2}} .
Vậy nếu tịnh tiến M song song với trục hoành | x 0 | {\displaystyle \left\vert x_{0}\right\vert } đơn vị về bên trái nếu x 0 > 0 {\displaystyle x_{0}>0} và về bên phải nếu x 0 < 0 {\displaystyle x_{0}<0} thì được điểm N.
Do đó ta có điều phải chứng minh.
Bước 3:Đồ thị của hàm số y = a x 2 + b x + c {\displaystyle y=ax^{2}+bx+c}
ta có biến đổi như phần Giới thiệu: a ( x + b 2 a ) 2 − Δ 4 a {\displaystyle a(x+{\frac {b}{2a}})^{2}-{\frac {\Delta }{4a}}}
áp dụng các kết quả từ Bước 1,2 với x 0 = b 2 a , y 0 = − Δ 4 a {\displaystyle x_{0}={\frac {b}{2a}},y_{0}=-{\frac {\Delta }{4a}}} ta thấy đồ thị là sự di chuyển sang trái hoặc phải tịnh tiến song song với trục hoành một khoảng | x 0 = b 2 a | {\displaystyle \left\vert x_{0}={\frac {b}{2a}}\right\vert } và lên trên hoặc xuống dưới tịnh tiến song song với trục tung một khoảng | y 0 = − Δ 4 a | {\displaystyle \left\vert y_{0}=-{\frac {\Delta }{4a}}\right\vert } .
Vậy ta có điều phải chứng minh.
Bước 1:Xác định tọa độ đỉnh I ( − b 2 a ; − Δ 4 a ) {\displaystyle I{\Bigl (}{\frac {-b}{2a}};{\frac {-\Delta }{4a}}{\Bigr )}} hoặc I ( − b ′ a ; − Δ ′ a ) {\displaystyle I{\Bigl (}{\frac {-b'}{a}};{\frac {-\Delta '}{a}}{\Bigr )}} hoặc I ( − b 2 a ; f ( − b 2 a ) ) {\displaystyle I{\Bigl (}{\frac {-b}{2a}};f({\frac {-b}{2a}}){\Bigr )}}
Bước 2: Vẽ trục đối xứng x = − b 2 a {\displaystyle x={\frac {-b}{2a}}} ( x = − b 2 a {\displaystyle x={\frac {-b}{2a}}} )
Bước 3: Xác định tọa độ các giao điểm của parabol với trục tung ( 0 ; c ) {\displaystyle (0;c)} và trục hoành nếu có, sau đó xác định một số điểm thuộc đồ thị
Bước 4: Vẽ parabol và chú ý dấu của hệ số a để biết parabol quay hướng nào.
Ta có bảng sau:
| x {\displaystyle x} | − ∞ {\displaystyle -\infty } − b 2 a {\displaystyle {\frac {-b}{2a}}} + ∞ {\displaystyle +\infty } |
|---|---|
| y {\displaystyle y} | + ∞ ↘ − Δ 4 a ↗ + ∞ {\displaystyle +\infty \searrow {\frac {-\Delta }{4a}}\nearrow +\infty } |
Hàm số nghịch biến trên ( − ∞ ; − b 2 a ) {\displaystyle ({\displaystyle -\infty };{\displaystyle {\frac {-b}{2a}}})} và đồng biến trên ( − b 2 a ; + ∞ ) {\displaystyle ({\displaystyle {\frac {-b}{2a}}};{\displaystyle +\infty })} .
| x {\displaystyle x} | − ∞ {\displaystyle -\infty } − b 2 a {\displaystyle {\frac {-b}{2a}}} + ∞ {\displaystyle +\infty } |
|---|---|
| y {\displaystyle y} | − ∞ ↗ − Δ 4 a ↘ − ∞ {\displaystyle -\infty \nearrow {\frac {-\Delta }{4a}}\searrow -\infty } |
Hàm số nghịch biến trên ( − b 2 a ; + ∞ ) {\displaystyle ({\displaystyle {\frac {-b}{2a}}};{\displaystyle +\infty })} và đồng biến trên ( − ∞ ; − b 2 a ) {\displaystyle ({\displaystyle -\infty };{\displaystyle {\frac {-b}{2a}}})} .
Tất cả các kiến thức về cách vẽ, bảng biến thiên, đồ thị và cấu trúc cũng như ứng dụng của hàm số bậc hai mẫu chuẩn và thu gọn đều có trong SGK Toán 9 tập 2 và SGK Đại số 10.
Thực đơn
Hàm_số_bậc_haiLiên quan
Tài liệu tham khảo
WikiPedia: Hàm_số_bậc_hai